Bab 9 properties of stock options

Properti Opsi Saham Bab 9 1 Opsi, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya, Edisi 7, Hak Cipta John C. Hull 2008. Presentasi mengenai tema: Properti Opsi Saham Bab 9 1 Opsi, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya, Edisi 7, Hak Cipta John C Hull 2008. Transkrip presentasi: 1 Properti Opsi Saham Bab 9 1 Opsi, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya, Edisi 7, Hak Cipta John C. Hull 2008 2 Opsi, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya Edisi 7, Copyright John C. Hull 20082 Notasi c. Harga option call Eropa p: harga opsi put Eropa S 0: Harga saham hari ini K: Harga strike T: Life of option: Volatilitas harga saham C: American Call option price P: American Put option price ST: Harga saham pada opsi maturity D : Nilai dividen saat ini selama opsi-opsi hidup r: Tingkat bebas risiko untuk jatuh tempo T dengan cont comp 3 Pilihan, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya Edisi 7, Copyright John C. Hull 20083 Pengaruh Variabel pada Opsi Harga (Tabel 9.1, halaman 202 ) Variabel cpCP S0S0 KT r D. 4 Opsi Opsi, Futures, dan Derivatif Lainnya Edisi 7, Hak Cipta John C. Hull 20084 Pilihan Amerika vs Eropa Opsi Amerika bernilai setidaknya sebanyak opsi Eropa yang sesuai C c P p 5 Opsi, Futures, dan Derivatif Lainnya 7 th Edisi, Hak Cipta John C. Hull 20085 Panggilan: Peluang Arbitrase Misalkan bahwa c 3 S 0 20 T 1 r 10 K 18 D 0 Apakah ada peluang arbitrase 6 Edisi Pilihan, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya, Edisi 7, Copyright John C. Hull 20086 Lower Bound untuk Opsi Opsi Panggil Eropa Tidak Ada Dividen (Persamaan 9.1, halaman 207) c max (S 0 Ke rT, 0) 7 Pilihan, Futures, dan Derivatif Lainnya Edisi 7, Hak Cipta John C. Hull 20087 Menempatkan: Peluang Arbitrase Misalkan ada suatu peluang arbitrase p 1 S 0 37 T 0.5 r 5 K 40 D 0 8 Pilihan, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya Edisi 7, Hak Cipta John C. Hull 20088 Turunkan Batas Harga Eropa Tidak Dividen (Persamaan 9.2, Halaman 208) p max (Ke - rT S 0, 0) 9 Opsi, Futures , Dan Derivatif Lain Edisi 7, Hak Cipta John C. Hull 20089 Put-Call Parity No Dividen (Persamaan 9.3, halaman 208) Perhatikan 2 portofolio berikut ini: Portofolio A: Panggilan Eropa pada saham PV dari harga strike secara tunai Portofolio C : Eropa mengenakan saham saham Keduanya layak max (ST, K) pada saat jatuh tempo pilihan Mereka karenanya harus bernilai sama hari ini. Ini berarti bahwa c 3 S 0 31 T 0,25 r 10 K 30 D 0 Berapakah kemungkinan arbitrase? Saat p 2.25. Latihan Awal Biasanya ada kemungkinan opsi Amerika akan dilaksanakan lebih awal Pengecualian adalah panggilan Amerika atas saham yang tidak membagikan dividen. Tidak boleh dilakukan lebih awal 12 Pilihan, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya Edisi 7, Hak Cipta John C. Hull 200812 Untuk opsi panggilan Amerika: S 0 100 T 0,25 K 60 D 0 Jika Anda segera berolahraga Apa yang harus Anda lakukan jika Anda ingin Memegang saham selama 3 bulan ke depan Anda tidak merasa bahwa saham itu layak dipertahankan untuk 3 bulan ke depan Edisi ke-7, Hak Cipta, dan Derivatif Lainnya Edisi 7, Hak Cipta John C. Hull 200813 Alasan Tidak Berolahraga dalam Panggilan Awal (Tidak Ada Dividen) Tidak ada pendapatan yang dikorbankan Pembayaran harga strike tertunda Holding the call memberikan jaminan terhadap harga saham yang jatuh di bawah harga strike 14 Options, Futures, and Other Derivatives Edisi 7, Copyright John C. Hull 2 00814 Harus Ditempatkan Dulu. Apakah ada keuntungan untuk menggunakan putera Amerika saat S 0 60 T 0.25 r 10 K 100 D 0 15 Pilihan, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya Edisi 7, Copyright John C. Hull 200815 Dampak Dividen pada Batas Bawah terhadap Opsi Harga ( Persamaan 9.5 dan 9.6, halaman 214-215) 16 Pilihan, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya Edisi 7, Hak Cipta John C. Hull 200816 Perpanjangan Putian Parity Opsi Amerika D 0 S 0 - K 0 c D Ke-rT p S 0 (Persamaan 9.7, hal 215) Opsi Amerika D 0 S 0 - D - K 0 c D Ke - rT p S 0 (Persamaan 9.7, hal 215) Opsi Amerika D 0 S 0 - D - KChapter 10 Properti Saham Pilihan Pilihan, Futures, dan Derivatif Lainnya, Edisi ke 8, Hak Cipta John C. Hull 2012 1. Presentasi mengenai tema: Bab 10 Sifat Opsi Opsi Saham, Futures, dan Derivatif Lainnya, Edisi 8, Hak Cipta John C. Hull 2012 1. Presentasi Transkrip: 1 Bab 10 Properti Pilihan Opsi Saham, Futures, dan Derivatif Lainnya, Edisi 8, Hak Cipta John C. Hull 2012 1 2 Pilihan Notasi, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya, Edisi 8, Hak Cipta John C. Hull 20122 c: Harga opsi call Eropa p: Harga opsi put Eropa S0: S0: Harga saham hari ini K: Harga strike T: Life of option: : Volatilitas harga saham C: Harga opsi call Amerika P: American put option price ST: ST: Harga saham pada opsi jatuh tempo D: PV dividen yang dibayarkan selama masa opsi R Tingkat bebas risiko jatuh tempo T dengan cont. Comp. 3 Pengaruh Variabel pada Opsi Harga (Tabel 10.1, halaman 215) Pilihan, Futures, dan Derivatif Lainnya, Edisi ke-8, Hak Cipta John C. Hull 2012 Variabel cpCP S0S0 K T. r D 3 4 Pilihan Pilihan, Futures, dan Pilihan Amerika Derivatif lain, Edisi 8, Hak Cipta John C. Hull 2012 4 Pilihan Amerika bernilai setidaknya sebanyak pilihan Eropa yang sesuai C c P p 5 Panggilan: Peluang Arbitrase Misalkan ada pilihan peluang arbitrase Pilihan, Futures, dan Lainnya Derivatif, Edisi 8, Hak Cipta John C. Hull 2012 5 c 3 S 0 20 T 1 r 10 K 18 D 0 6 Batas Bawah untuk Opsi Opsi Panggil Eropa Tidak Dividen (Persamaan 10.4, halaman 220) c S 0 Ke - rT Pilihan, Futures, dan Derivatif Lainnya, Edisi 8, Hak Cipta John C. Hull 2012 6 7 Menempatkan: Peluang Arbitrase Misalkan ada pilihan arbitrase Pilihan, Futures, dan Derivatif Lainnya, Edisi 8, Hak Cipta John C. Hull 2012 7 hal 1 S 0 37 T 0.5 r 5 K 40 D 0 8 Batas Bawah untuk Europ Ean Put Prices No Dividends (Persamaan 10,5, halaman 221) p Ke - rT S 0 Pilihan, Futures, dan Derivatif Lainnya, Edisi ke-8, Hak Cipta John C. Hull 2012 8 9 Put-Call Parity: Tidak Ada Dividen Perhatikan 2 portofolio berikut ini: Portofolio A: Eropa memanggil obligasi zero-coupon saham yang membayar K pada waktu T Portofolio C: Eropa mengenakan saham opsi, Futures, dan Derivatif lainnya, Edisi 8, Hak Cipta John C. Hull 2012 9 10 Nilai Portofolio Pilihan, Futures, dan Derivatif Lainnya, Edisi ke 8, Hak Cipta John C. Hull 201210 ST KS T KS T 11 Hasil Putin Pasak (Persamaan 10.6, halaman 222) Baik bernilai maks (ST, K) pada saat jatuh tempo Pilihan Oleh karena itu mereka harus layak hari ini sama. Ini berarti bahwa c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.................................. P 1. Pilihan, Kontrak Berjangka, dan Derivatif Lainnya, Edisi ke 8, Hak Cipta John C. Hull 2012 12 Peluang Arbitrase c 3 S 0 31 T 0,25 r 10 K 30 D 0 13 Batas Pilihan Pilihan Eropa atau Amerika (No Dividends) Pilihan, Futures, dan Derivatif Lainnya, Edisi 8, Hak Cipta John C. Hull 2012 13 14 Batas Pilihan Pilihan, Futures, dan Derivatif Eropa, Amerika Serikat, Edisi 8, Hak Cipta John C. Hull 201214 15 Dampak Dividen Pada Batas Bawah untuk Opsi Harga (Persamaan 10.8 dan 10.9, halaman 229) Pilihan, Futures, dan Derivatif Lainnya, Edisi 8, Hak Cipta John C. Hull 2012 15 16 Perpanjangan Put-Call Parity Pilihan Amerika D 0 S 0 K 0 c D Ke rT p S 0 Persamaan 10.10 hal. 230 pilihan Amerika D 0 S 0 D K 0 c D Ke rT p S 0 Persamaan 10.10 hal. 230 pilihan Amerika D 0 S 0 D K73323229-9-Opsi-Pilihan Pilihan - T ER Prope: rties. Ini adalah akhir pratinjau. Daftar untuk mengakses sisa dokumen. Pratinjau teks tidak diformat: T ER Prope: rties of Stock Options Pada bab ini kita melihat faktor-faktor yang mempengaruhi harga opsi saham. Kami menggunakan sejumlah argumen arbitrase yang berbeda untuk mengeksplorasi hubungan antara harga opsi Eropa, harga opsi Amerika, dan harga saham yang mendasarinya. Yang paling penting dari hubungan ini adalah parity, yang merupakan hubungan antara harga opsi call Eropa dan harga opsi put Eropa. Bab ini membahas apakah pilihan Amerika harus dilaksanakan lebih awal. Ini menunjukkan bahwa tidak pernah optimal untuk menggunakan opsi panggilan Amerika pada saham non-dividend-paying sebelum masa berlaku opsi, namun dalam beberapa keadaan, pelaksanaan awal opsi opsi Amerika pada saham semacam itu optimal. 9.1 FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI PILIHAN OPSI Ada enam faktor yang mempengaruhi harga opsi saham: 1. The 2. The 3. The 4. The 5. The 6. Harga saham saat ini, Jadi strike price, K time to expiration, T volatility Dari harga saham, (j tingkat bunga bebas risiko, dividen r yang diharapkan selama masa opsi Pada bagian ini, kami mempertimbangkan apa yang terjadi pada harga opsi ketika salah satu faktor ini berubah, dan sisanya tetap ada. Hasilnya diringkas Pada Tabel 9.1 Angka 9.1 dan 9.2 menunjukkan bagaimana Eropa memanggil dan menetapkan harga bergantung pada lima faktor pertama dalam situasi di mana Jadi 50, K 50, r 5 per tahun, (j 30 per tahun, T 1 tahun, dan tidak ada Dividen Dalam hal ini harga panggilan adalah 7.116 dan harga put adalah 4.677 Harga Saham dan Harga Strike Jika opsi call dilakukan pada waktu mendatang, imbalannya adalah jumlah dimana harga saham melebihi harga strike. Pilihan jadi lebih berharga seperti Oquot 206 BAB 9 Tabel 9.1 Ringkasan th Efek pada harga opsi saham untuk meningkatkan satu variabel sambil tetap mempertahankan semua yang lain. Variabel Harga saham saat ini Harga strike Waktu untuk kadaluwarsa Volatilitas, Tingkat bebas risiko Jumlah dividen masa depan Eropa Eropa Amerika Amerika panggilan menaruh panggilan. Menunjukkan bahwa kenaikan variabel menyebabkan harga opsi meningkat - mengindikasikan bahwa kenaikan variabel menyebabkan harga opsi turun 1 mengindikasikan bahwa hubungan tersebut tidak pasti. Harga saham meningkat dan kurang berharga karena strike price meningkat. Untuk opsi put, hasil pada latihan adalah jumlah dimana harga strike melebihi harga saham. Oleh karena itu, opsi menempatkan berperilaku berlawanan dengan opsi panggilan: harganya menjadi kurang berharga karena harga saham meningkat dan lebih bernilai karena harga strik meningkat. Angka 9. 1 (a-d) menggambarkan cara di mana harga jual dan harga tergantung pada harga saham dan harga strike. Time to Expiration Sekarang perhatikan efek dari tanggal kedaluwarsa. Keduanya menempatkan dan memanggil pilihan Amerika menjadi lebih berharga seiring waktu untuk kadaluarsa meningkat. Misalkan kita memiliki dua pilihan Amerika yang berbeda hanya sejauh tanggal kadaluarsa yang bersangkutan. Pemilik opsi umur panjang memiliki semua kesempatan latihan yang terbuka bagi pemilik pilihan shortlife-dan banyak lagi. Pilihan umur panjang karenanya harus selalu bernilai setidaknya sebanyak pilihan jangka pendek. Meskipun opsi put dan call Eropa biasanya menjadi lebih bernilai karena waktu kadaluarsa akan meningkat (lihat, misalnya Angka 9.1 (e, f)), hal ini tidak selalu terjadi. Pertimbangkan dua pilihan panggilan Eropa pada saham: satu dengan tanggal kedaluwarsa dalam 1 bulan, yang lain dengan tanggal kedaluwarsa dalam 2 bulan. Misalkan dividen yang sangat besar diperkirakan dalam 6 minggu. Dividen akan menyebabkan harga saham turun, sehingga opsi short life bisa lebih berharga daripada opsi jangka panjang. Volatilitas Cara yang tepat di mana volatilitas didefinisikan dibahas di Bab 13. Secara kasar, volatilitas harga saham adalah ukuran seberapa tidak pasti kita tentang pergerakan harga saham di masa depan. Seiring dengan kenaikan volatilitas, kemungkinan saham akan meningkat dengan sangat baik atau sangat buruk. Bagi pemilik saham, kedua hasil ini cenderung saling mengimbangi. Namun, ini bukan untuk pemilik panggilan atau taruh. Pemilik manfaat panggilan, dari kenaikan harga namun memiliki risiko downside yang terbatas jika terjadi penurunan harga karena sebagian besar pemiliknya bisa kalah adalah harga opsi. Demikian pula, pemilik manfaat put dari penurunan harga, namun memiliki risiko penurunan yang terbatas dalam hal 207 Properties of Stock Options kenaikan harga. Nilai dari panggilan dan kenaikan kuadrat meningkat karena volatilitas meningkat (lihat Gambar 9.2 (a, b)). Suku Bunga Bebas Risiko Suku bunga bebas risiko mempengaruhi harga opsi dengan cara yang kurang jelas. Seiring dengan naiknya tingkat suku bunga dalam perekonomian, imbal hasil yang diharapkan investor dari saham. Efek perubahan harga saham, strike price, dan tanggal kadaluarsa harga opsi ketika So 50, K 50, r 5, 30, dan T 1. Gambar 9.1 Harga opsi call, c Opsi opsi put, p 50 50 40 30 20 0 Harga saham, Jadi harga saham, Jadi 10 0 20 60 80 20 100 80 (a) 100 (b) Harga opsi call, c Opsi opsi put, P 50 40 30 20 10 0 Harga Strike, K 0 20 40 60 80 100 10 0 Harga Strike, K 0 20 40 (c) 60 80 100 (d) Harga opsi call, c Opsi put option, p 10 10 8 8 6 6 4 4 2 0 0.0 Waktu untuk kadaluarsa, T 0.4 0.8 1.2 (e) 1.6 2 0 0.0 Waktu untuk kadaluarsa, T 0.4 0.8 1.2 (f) 1.6 208 BAB 9 Gambar 9.2 Pengaruh perubahan tingkat volatilitas dan tingkat bunga bebas risiko terhadap Harga opsi saat So 50, K 50, r 5, U 30, dan T l. Call option price, c Opsi opsi put, hal 15 15 12 12 9 9 6 6 3 00 Volatilitas, cr () 20 10 30 40 50 3 0 0 Volatilitas, cr () 10 20 30 (a) 40 50 (b) Panggilan Harga opsi, c Opsi opsi put, p 10 10 8 8 6 6 4 4 2 00 Tingkat bebas risiko, r () 2 4 6 8 (c) 2 00 Tingkat bebas risiko, r () 2 4 6 8 (d ) Cenderung meningkat. Selain itu, nilai sekarang dari arus kas masa depan yang diterima oleh pemegang opsi berkurang. Dampak gabungan kedua efek ini adalah untuk meningkatkan nilai opsi panggilan dan menurunkan nilai opsi put (lihat Gambar 9.2 (c, d)). Penting untuk ditekankan bahwa kita mengasumsikan bahwa suku bunga berubah sementara semua variabel lainnya tetap sama, Secara khusus kita mengasumsikan bahwa tingkat suku bunga berubah sementara harga saham tetap sama. Dalam prakteknya, ketika suku bunga naik (turun), harga saham cenderung turun (naik). Efek bersih kenaikan suku bunga dan penurunan harga saham yang menyertainya dapat mengurangi nilai call option dan meningkatkan nilai opsi put. Demikian pula. Efek bersih penurunan suku bunga dan kenaikan harga saham yang menyertainya dapat meningkatkan nilai call option dan menurunkan nilai opsi put. Jumlah Dividen Masa Depan Dividen memiliki efek mengurangi harga saham pada tanggal ex-dividend. Ini adalah berita buruk untuk nilai opsi panggilan dan kabar baik untuk nilai opsi put. Oleh karena itu, nilai opsi panggilan dikaitkan secara negatif dengan ukuran dividen masa depan yang diantisipasi, dan nilai opsi put secara positif terkait dengan ukuran dividen masa depan yang diantisipasi. ASSISPSI DAN PEMBERITAHUAN Dalam bab ini, kita akan membuat asumsi yang serupa dengan yang dibuat untuk menurunkan harga futures dan futures di Bab 5. Kita berasumsi bahwa ada beberapa pelaku pasar, seperti bank investasi besar, dimana pernyataan berikut Adalah benar: 1. Tidak ada biaya transaksi. 2. Semua keuntungan perdagangan (bersih dari kerugian perdagangan) dikenai tarif pajak yang sama. 3. Meminjam dan meminjamkan dimungkinkan dengan tingkat bunga bebas risiko. Kami berasumsi bahwa pelaku pasar ini siap memanfaatkan peluang arbitrase saat terjadi. Seperti yang dibahas pada Bab I dan 5, ini berarti bahwa peluang arbitrase yang tersedia hilang dengan sangat cepat. Untuk tujuan analisis kami, oleh karena itu masuk akal untuk berasumsi bahwa tidak ada peluang arbitrase. Kami akan menggunakan notasi berikut: Jadi: Harga saham saat ini K: Harga opsi strike T: Waktu untuk berakhirnya opsi ST: Harga saham pada saat jatuh tempo r: Tingkat bunga bebas risiko yang ditambah secara kontinyu untuk investasi yang jatuh tempo pada waktunya T c: Nilai opsi call Amerika untuk membeli satu saham P: Nilai opsi put Amerika untuk menjual satu saham c: Nilai opsi beli Eropa untuk membeli satu saham p: Nilai opsi put Eropa untuk menjual satu saham Perlu dicatat bahwa r adalah Tingkat bunga nominal, bukan tingkat bunga riil. Kita dapat mengasumsikan bahwa rgt O. Jika tidak, investasi bebas risiko tidak akan memberikan keuntungan lebih dari uang tunai. (Memang, jika r - lt 0, uang tunai akan lebih baik daripada investasi bebas risiko.) 9.3 BIAYA UPPER DAN LOWER UNTUK HARGA OPSI Pada bagian ini, kami memperoleh batas atas dan bawah untuk harga opsi. Batas-batas ini tidak bergantung pada asumsi tertentu tentang faktor-faktor yang disebutkan dalam Bagian 9.1 (kecuali r gt 0). Jika harga opsi berada di atas batas atas atau di bawah batas bawah, maka ada peluang menguntungkan bagi arbitrase. Batas Atas Opsi panggilan Amerika atau Eropa memberi pemegang hak untuk membeli satu saham dengan harga tertentu. Tidak peduli apa yang terjadi, pilihan itu tidak akan pernah bisa berharga lebih dari sekedar persediaan. Oleh karena itu, harga saham isquot berada di atas terikat pada harga opsi: c Jadi Jika hubungan ini tidak benar, arbitrase dapat dengan mudah membuat keuntungan tanpa risiko dengan membeli saham dan menjual opsi panggilan. 210 BAB 9 Opsi putera Amerika atau Eropa memberi pemegang hak untuk menjual satu saham saham untuk K. Sekecil apa pun harga sahamnya, pilihannya tidak akan pernah bernilai lebih dari K. Oleh karena itu, p K Untuk opsi Eropa , Kita tahu bahwa pada saat jatuh tempo pilihannya tidak bisa bernilai lebih dari K. Ini berarti nilai itu tidak bisa bernilai lebih dari nilai sekarang K hari ini. Jika ini tidak benar, arbitrase bisa menghasilkan keuntungan tanpa risiko dengan menuliskan opsi dan menginvestasikan hasil penjualan dengan suku bunga bebas risiko. Turunkan Batas untuk Panggilan pada Saham yang Membayar Bukan Dividen Batas yang lebih rendah untuk harga opsi beli Eropa pada saham yang tidak membagikan dividen adalah Wequot yang pertama kali melihat contoh numerik dan kemudian mempertimbangkan argumen yang lebih formal. Misalkan So 20, K 18, r 10 per tahun, dan T 1 tahun. Dalam kasus ini, So - Ke - rT 20 - 18e - O. 1 3.71 atau 3.71. Pertimbangkan situasi di mana harga telepon Eropa adalah 3.00, yang kurang dari nilai teoritis 3.71. Sebuah arbitrageur dapat mempersingkat persediaan dan membeli telepon untuk menyediakan arus masuk uang tunai 20,00 - 3,00 17.00. Jika diinvestasikan selama 1 tahun pada 10 per tahun, 17.00 tumbuh ke 17eo. 1 18.79. Pada akhir tahun, opsi tersebut akan berakhir. Jika harga saham lebih besar dari pukul 18.00, opsi arbitrageur untuk opsi 18.00, menutup posisi short, dan menghasilkan keuntungan 18.79 - 18.00 0.79 Jika harga saham kurang dari 18.00, saham tersebut dibeli di pasar dan Posisi pendek ditutup. Arbitrageur kemudian menghasilkan keuntungan yang lebih besar lagi. Misalnya, jika harga saham 17.00, keuntungan arbitrase adalah 18,79 - 17,00 1,79 Untuk argumen yang lebih formal, kami mempertimbangkan dua portofolio berikut ini: Portofolio A: satu opsi panggilan Eropa ditambah sejumlah uang sama dengan Portfolio Ke-B : Satu saham Dalam portofolio A, uang tunai, jika diinvestasikan pada tingkat bunga bebas risiko, akan tumbuh menjadi K pada waktunya T. Jika ST gt K, opsi call dilakukan pada saat jatuh tempo dan portfblio A bernilai ST If ST Lt K, opsi panggilan kadaluarsa tidak berharga dan portofolio bernilai K. Oleh karena itu, pada saat T, portofolio A bernilai maksimal (ST K) Portofolio B bernilai ST pada waktu T. Oleh karena itu, portofolio A selalu bernilai sama banyaknya, Dan 211 Properti Opsi Saham dapat bernilai lebih dari, portofolio pada opsi jatuh tempo. Dengan demikian, jika tidak ada peluang arbitrase, hal ini juga harus benar hari ini. Pagar, c Ke-rT Jadi atau karena yang terburuk yang bisa terjadi pada opsi panggilan adalah kedaluwarsa, nilainya tidak boleh negatif. Ini berarti bahwa c 0 dan karenanya c max (So - Ke - rt. 0) (9.1) Contoh 9.1 Pertimbangkan opsi pemanggilan Eropa pada saham yang tidak membagikan dividen saat harga saham 51, harga strike adalah 50, Waktu jatuh tempo adalah 6 bulan, dan tingkat bunga bebas risiko 12 per tahun. Dalam kasus ini, So 51, K 50, T 0.5, dan rT r 0,12. Dari persamaan (9.1), batas bawah harga opsi adalah So - Ke -. Atau 51 - 50e-O.12x0.5 3.91 Bound yang lebih rendah untuk saham Eropa pada saham non-Dividen-Membayar Untuk opsi put Eropa pada saham yang tidak membagikan dividen, batas yang lebih rendah untuk harga adalah Sekali lagi, pertama-tama kita mempertimbangkan sebuah Contoh numerik dan kemudian melihat argumen yang lebih formal. Misalkan So 37, K 40, r 5 per tahun, dan T 0,5 tahun. Dalam kasus ini, Ke - rT - So 40e-O.05xO.5 - 37 2.01 Perhatikan situasinya. Dimana harga put Eropa adalah 1.00, yang kurang dari nilai teoritis 2,01. Seorang arbitrase dapat meminjam 38,00 selama 6 bulan untuk membeli put dan stock. Pada akhir 6 bulan, arbitrase akan diminta membayar kembali 38eo.05xO.5 38.96. Jika harga saham di bawah 40.00, opsi arbitrageur untuk menjual saham seharga 40.00, melunasi pinjamannya, dan menghasilkan keuntungan sebesar 40,00 - 38,96 1,04 Jika harga saham lebih besar dari 40,00, arbitrase membuang pilihannya, menjual Saham, dan melunasi pinjaman untuk keuntungan yang lebih besar lagi. Misalnya, jika harga sahamnya 42,00, keuntungan arbitrase itu. 42.00 - 38.96 3.04 Untuk argumen yang lebih formal, kami mempertimbangkan dua portofolio berikut: Portofolio C: satu pilihan opsi Eropa ditambah satu saham Portofolio D: sejumlah uang tunai sama dengan Ke-rT Jika ST lt K, maka opsi pada portofolio C Dieksekusi pada saat jatuh tempo pilihan, dan portofolio menjadi bernilai K. Jika ST gt K, maka opsi put kedaluwarsa tidak bernilai, dan portofolio 212 BAB 9 bernilai pada saat ini. Oleh karena itu, portofolio C bernilai maksimal (ST K) pada waktu T. Dengan mengasumsikan bahwa uang diinvestasikan pada tingkat bunga bebas risiko, portofolio D bernilai K pada waktu T. Oleh karena itu, portofolio C selalu bernilai sebanyak dan dapat Kadang bernilai lebih dari, portofolio D pada waktunya T. Dengan demikian, jika tidak ada peluang arbitrase, portofolio C setidaknya bernilai sama dengan portofolio D hari ini. Oleh karena itu, p Jadi, atau karena yang terburuk yang bisa terjadi pada opsi put adalah berakhir nilainya tidak berharga, nilainya tidak boleh negatif. Ini berarti bahwa p max (Ke-rT - So, 0) (9.2) Contoh 9.2. Pertimbangkan sebuah opsi put Eropa untuk saham non-dividend-paying ketika harga sahamnya 38, harga strike 40, waktu jatuh tempo Adalah 3 bulan, dan tingkat bunga bebas risiko adalah 10 per tahun. Dalam hal ini So 38, K 40, T 0.25, dan r 0.10. Dari persamaan (9.2), batas terendah untuk harga opsi, adalah Ke - rT - Jadi, atau 40e-O. lxO.25 - 38 1.01 9.4 PUT-CAL PARITY Sekarang kita mendapatkan hubungan penting antara p dan c. Perhatikan dua portofolio berikut yang digunakan pada bagian sebelumnya: Portofolio A: satu opsi panggilan Eropa ditambah sejumlah uang tunai sama dengan Portofolio Ke-rT C: satu pilihan opsi Eropa ditambah satu saham Keduanya layak maks (ST, K) di Kedaluwarsa pilihan. Karena pilihannya adalah Eropa, mereka tidak bisa dieksekusi sebelum tanggal kedaluwarsa. Oleh karena itu, portofolio harus memiliki nilai identik saat ini. Tllis berarti bahwa (9.3) cKe rT pSo Hubungan ini dikenal dengan istilah put-call parity. Ini menunjukkan bahwa nilai dari sebuah panggilan Eropa dengan harga strike dan tanggal exercise tertentu dapat disimpulkan dari nilai a Eropa dengan harga strike dan exercise yang sama, dan sebaliknya. Jika persamaan (9.3) tidak berlaku, ada peluang arbitrase Misalkan harga saham 31, harga strike 30, tingkat bunga bebas risiko adalah 10 per tahun, harga opsi panggilan Eropa 3 bulan adalah 3 , Dan harga opsi plakat Eropa tiga bulan adalah 2,25. Dalam hal ini, c. Portofolio C terlalu mahal dibandingkan dengan portofolio A. Strategi arbitrase yang benar adalah membeli sekuritas dalam portofolio A dan membuat short Sekuritas dalam portofolio C. Strategi ini melibatkan pembelian call dan shorting baik put dan stock, menghasilkan arus kas positif -3 2.25 31 30.25 di depan. Ketika diinvestasikan pada tingkat bunga bebas risiko, jumlah ini tumbuh menjadi 30.25eo. lxO.25 31.02 dalam 3 bulan. Jika harga saham pada saat jatuh tempo opsi lebih besar dari 30, panggilan akan dilakukan dan jika kurang dari 30, put akan dilakukan. Dalam kedua kasus tersebut, investor akhirnya membeli satu saham untuk 30 saham. Saham ini dapat digunakan untuk menutup posisi short. Oleh karena itu, laba bersih 31.02 - 30.00 1.02 Untuk situasi alternatif, misalkan harga panggilan adalah 3 dan harga put adalah 1. Dalam hal ini, c Ke - rT 3 30e-O. lx312 32,26 dan p Jadi 1 31 32.00 Portofolio A terlalu mahal dibandingkan dengan portofolio C. Arbitrageur dapat menarik sekuritas dalam portofolio A dan membeli sekuritas dalam portofolio C untuk mengunci keuntungan. Strategi tersebut melibatkan Tabel 9.2 Peluang arbitrase ketika paritas tidak dipegang. Harga saham 31 harga interesf 10call price 3. Kedua put and call memiliki strike price 30 dan 3 bulan sampai jatuh tempo. Tiga mollth menaruh harga 2.25 Tlllee-mollth menaruh harga 1 Aksi noll: Buy call for 3 Short put toaware 2.25 Short stock to aware 31 Invest 30.25 for 3 months Aksi noll: Pinjam 29 selama 3 bulan Panggilan singkat untuk mewujudkan 3 Buy put Untuk 1 Beli saham untuk 31 Tindakan dalam 3 bulan jika ST gt 30: Menerima 31.02 dari investasi Panggilan latihan untuk membeli saham untuk 30 Laba bersih 1.02 Tindakan dalam 3 bulan jika ST gt 30: Call exercise: jual saham untuk 30 Gunakan 29,73 untuk melunasi Pinjaman Laba bersih 0,27 Aksi dalam 3 bulan jika ST lt 30: Menerima 31,02 dari investasi Put dilakukan: beli saham untuk 30 Laba bersih 1.02 Tindakan dalam 3 bulan jika ST lt 30: Latihan dijual kembali 3 Gunakan 29,73 untuk melunasi pinjaman Laba bersih 0.27 214 BAB 9 Snapshot Bisnis 9.1 Susunan Panggilan dan Struktur Modal Perintis opsi harga adalah Fischer Black, Myron Scholes, dan Robert Merton. Pada awal 1970an, mereka menunjukkan bahwa opsi dapat digunakan untuk mengkarakterisasi struktur modal perusahaan. Saat ini model ini banyak digunakan oleh lembaga keuangan untuk menilai risiko kredit perusahaan. Untuk mengilustrasikan model tersebut, pertimbangkan sebuah perusahaan yang memiliki aset yang dibiayai dengan obligasi zero-coupon dan equity. Misalkan obligasi jatuh tempo dalam 5 tahun dimana pada saat itu diperlukan pembayaran pokok K. Perusahaan tidak membayar dividen. Jika aset tersebut bernilai lebih dari K dalam 5 tahun, pemegang ekuitas memilih untuk membayar kembali pemegang obligasi. Jika asetnya berharga kurang dari itu. K, pemegang saham memilih untuk menyatakan kebangkrutan dan pemegang obligasi akhirnya memiliki perusahaan. Oleh karena itu, nilai ekuitas dalam 5 tahun adalah maks (A T - K, 0), di mana AT adalah nilai aset perusahaan pada saat itu. Hal ini menunjukkan bahwa pemegang saham memiliki opsi panggilan Eropa 5 tahun atas aset perusahaan dengan harga strike K. Bagaimana dengan pemegang obligasi Mereka mendapatkan min (A T. K) dalam 5 tahun. Ini sama dengan K - max (K - AT, 0). Pemegang obligasi telah memberi hak kepada pemegang ekuitas untuk menjual aset perusahaan kepada mereka untuk K dalam 5 tahun. Oleh karena itu obligasi tersebut bernilai nilai sekarang dari K dikurangi nilai pilihan put option Eropa 5 tahun terhadap aset dengan harga strike K. Untuk meringkas, jika c dan p adalah nilai dari call dan put options, masing-masing, Maka Nilai ekuitas c Nilai PV hutang (K) - P Menunjukkan nilai aset perusahaan saat ini oleh A o. Nilai aset harus sama dengan nilai total instrumen yang digunakan untuk membiayai aset. Ini berarti bahwa ia harus sama dengan jumlah nilai ekuitas dan nilai hutang, sehingga Ao menyusun ulang persamaan ini, kita c PV (K) - p ave c PV (K) p A o Ini adalah put - Hasil paritas menghasilkan persamaan (9.3) untuk call dan put options pada aset perusahaan. Korsleting panggilan dan membeli baik saham dan saham dengan investasi awal 31 1 - 3 29 Bila investasi dibiayai dengan suku bunga bebas risiko, pelunasan 2lo.42 29.73 diperlukan pada akhir 3 bulan. Seperti kasus sebelumnya, panggilan atau put tersebut akan dilakukan. Posisi short call dan long put option menyebabkan stok terjual 30,00. Dengan demikian laba bersih 30,00 - 29,73 0,27. Contoh-contoh ini diilustrasikan pada Tabel 9.2. Snapshot Bisnis 9.1 menunjukkan bagaimana opsi dan paritas dapat membantu kita memahami posisi pemegang hutang dan ekuitas di perusahaan. 215 Opsi Opsi Saham Opsi Amerika Lamanya paritas panggilan hanya berlaku untuk opsi Eropa. Namun, ada kemungkinan untuk mendapatkan beberapa hasil untuk harga opsi Amerika. Hal ini dapat ditunjukkan (lihat Soal 9.18) bahwa, bila tidak ada dividen, So - K So - Ke - rT (9.4) Contoh 9.3 Opsi pemanggilan Amerika pada saham yang tidak membagikan dividen dengan harga strike 20.00 dan jatuh tempo dalam 5 Bulan bernilai 1,50 Anggaplah bahwa harga saham saat ini adalah 19,00 dan tingkat bunga bebas risiko adalah 10 per tahun. Dari persamaan (9.4), kita memiliki 19 - 20 19 - 20e - O. lx5jI2 atau 1 0,18 yang menunjukkan bahwa P - C terletak antara 1,00 dan 0,18. Dengan C pada 1,50, P harus berada di antara 1,68 dan 2,50. Dengan kata lain, batas atas dan bawah untuk harga yang dipatok Amerika dengan harga strike dan tanggal kedaluwarsa yang sama dengan panggilan Amerika adalah 2,50 dan 1,68. 9.5 LATIHAN AWAL: MELIHAT SAHAM BIAYA TIDAK DIVIDEN Bagian ini menunjukkan bahwa tidak pernah optimal untuk menggunakan opsi panggilan Amerika pada saham yang tidak membagikan dividen sebelum tanggal kadaluwarsa. Untuk menggambarkan sifat umum argumen, pertimbangkan pilihan panggilan Amerika pada saham yang tidak membagikan dividen dengan 1 bulan sampai kadaluwarsa pada saat harga saham 50 dan harga pemogokannya adalah 40. Pilihannya sangat dalam dari uang, dan Investor yang memiliki opsi ini mungkin tergoda untuk segera melakukannya. Namun, jika investor berencana menahan stok yang diperoleh dengan menggunakan opsi lebih dari 1 bulan, ini bukan strategi terbaik. Tindakan yang lebih baik adalah menyimpan opsi dan menjalankannya di akhir bulan. Harga strike 40 kemudian dibayarkan 1 bulan kemudian daripada jika opsi itu dilakukan segera, sehingga bunga tersebut didapat pada tanggal 40 selama 1 bulan. Karena saham tidak membayar dividen, tidak ada pendapatan dari saham yang dikorbankan. Keuntungan lebih lanjut menunggu daripada berolahraga segera adalah ada beberapa kemungkinan (betapapun jauh) harga saham akan turun di bawah 40 dalam 1 bulan. Dalam hal ini, investor tidak akan berolahraga dalam 1 bulan dan akan senang jika keputusan untuk melakukan exercise lebih awal tidak diambil. Argumen ini menunjukkan bahwa tidak ada keuntungan untuk berolahraga lebih awal jika investor berencana untuk menyimpan saham selama sisa Pilihan (1 bulan, dalam kasus ini). Bagaimana jika investor menganggap saham saat ini terlalu mahal dan bertanya-tanya apakah akan menggunakan opsi dan menjual saham. Dalam kasus ini, investor lebih baik menjual opsi daripada menjalankannya. L Pilihannya akan dibeli oleh investor lain yang memang ingin menyimpan sahamnya. Investor tersebut harus ada: jika tidak, harga saham saat ini tidak akan menjadi 50. Harga yang diperoleh untuk opsi akan lebih besar dari nilai intrinsiknya 10, untuk alasan yang disebutkan sebelumnya. Saya Sebagai strategi alternatif, investor bisa menyimpan opsi dan short stock untuk mengunci keuntungan lebih baik dari SIO. 216 BAB 9 Variasi harga opsi pemanggilan Amerika atau Eropa terhadap saham yang membayar nondividen dengan harga saham, Jadi. Gambar 9.3 Harga opsi call K Harga saham, Jadi Untuk argumen yang lebih formal, kita dapat menggunakan persamaan (9.1): c Jadi-Ke - rT Beca. use pemilik panggilan Amerika memiliki semua kesempatan latihan terbuka untuk pemilik Dengan panggilan Eropa yang sesuai, kita harus memiliki demikian, C Jadi - Ke - rT Mengingat r gt 0, maka C gt So - K. Jika sudah optimal untuk berolahraga lebih awal, C akan sama dengan So - K. Kami menyimpulkan bahwa hal itu tidak akan pernah Sebaiknya berolahraga lebih awal. Gambar 9.3 menunjukkan cara umum di mana harga panggilan bervariasi dengan So. Ini menunjukkan bahwa harga panggilan selalu di atas nilai intrinsiknya dari max (So - K, 0). Sebagai r atau T atau volatilitas meningkat, garis yang menghubungkan harga panggilan dengan harga saham bergerak ke arah yang ditunjukkan oleh panah (yaitu lebih jauh dari nilai intrinsik). Sebagai rangkuman, ada dua alasan mengapa Amerika melakukan pembelian saham non-dividen tidak boleh dilakukan lebih awal. Seseorang berhubungan dengan asuransi yang diberikannya. Sebuah opsi call, bila diadakan bukan saham itu sendiri, pada dasarnya menjamin pemegang terhadap harga saham jatuh di bawah harga strike. Begitu opsi telah dilakukan dan harga strike telah ditukar dengan harga saham, asuransi ini lenyap. Alasan lain menyangkut nilai waktu uang. Dari perspektif pemegang opsi, harga pemogokan kemudian dibayarkan, semakin baik. 9.6 LATIHAN AWAL: MEMUTUSKAN PADA SAHAM YANG TIDAK DIPERBOLEHKAN DIVIDEN Ini dapat dilakukan dengan optimal untuk menerapkan opsi put Amerika pada saham non-dividend-paying. Memang, pada waktu tertentu selama hidupnya, opsi put harus selalu dilakukan lebih awal jika harganya cukup dalam. 217 Properti Opsi Saham Untuk menggambarkan hal ini, pertimbangkan situasi yang ekstrem. Misalkan harga strike adalah 10 dan harga sahamnya hampir nol. Dengan segera berolahraga, investor mendapatkan keuntungan langsung dari 10. Jika investor menunggu, keuntungan dari latihan mungkin kurang dari 10, tapi tidak boleh lebih dari 10 karena harga saham negatif tidak mungkin dilakukan. Selanjutnya, menerima 10 sekarang lebih baik menerima 10 di masa depan. Dengan demikian opsi tersebut harus segera dilaksanakan. Seperti call option, opsi put bisa dilihat sebagai penyediaan asuransi. Opsi put, bila diadakan bersamaan dengan saham, menjamin pemegang terhadap harga saham turun di bawah level tertentu. However, a put option is different from a call option in that it may be optimal for an investor to forgo this insurance and exercise early in order to realize the strike price immediately. In general, thy early exercise of a put option becomes more attractive as So decreases, as r increases, and as the volatility decreases. It will be recalled from equation (9.2) that For an American put with price P, the stronger condition P K - So must always hold because immediate exercise is always possible. Figure 9.4 shows the general way in which the price of an American put varies with So. Provided that rgt 0, it is always optimal to exercise an American put immediately when the stock price is sufficiently low. When early exercise is optimal, the value of the option is K - So. The curve representing the value of the put therefore merges into the puts intrinsic value, K - So, for a sufficiently small value of So. In Figure 9.4, this value of So is shown as point A. The line relating the put price to the stock price moves in the direction indicated by the arrows when r decreases, when the volatility increases, and when T increases. Because there are some circumstances when it is desirable to exercise an American put option early, it follows that an American put option is always worth more than the Figure 9.4 Variation of price of an American put option with stock price, So. American put price quot. A. K Stock price, So 218 CHAPTER 9 Figure 9.5 Variation of price of a European put option with the stock price, So. European put price E quotquot. quot. quot B K Stock price, So corresponding European put option. Furthermore, because an American put is sometimes worth its intrinsic value (see Figure 9.4), it follows that a European put option must sometimes be worth less than its intrin. sic value. Figure 9.5 shows the variation of the European put price with the stock price. Note that point B in Figure 9.5, at which the price of the option is equal to its intrinsic value, must represent a higher value of the stock price than point A in Figure 9.4. Point E in Figure 9.5 is where So 0 and the European put price is Ke-r 9.7 EFFECT OF DIVIDENDS The results produced so far in this chapter have assumed that we are dealing with options on a non-dividend-paying stock. In this section we examine the impact of dividends. In the United States most exchange-traded stock options have a life of less than 1 year and dividends payable during the life of the option can usually be predicted with reasonable accuracy. We will use D to denote the present value of the dividends during the life of the option. In the calculation of D, a dividend is assumed to occur at the time of its ex-dividend date. lower Bound for Calls and Puts We can redefine portfolios A and B as follows: Portfolio A: one European call option plus an amount of cash equal to D Ke - rT Portfolio B: one share A similar argument to the one used to derive equation (9.1) shows that c So - D - Ke - rT (9.5) 219 Properties of Stock Options We can also redefine portfolios C and D as follows: Portfolio C: one European put option plus one share Portfolio D: an amount of cash equal to D Ke - rT A similar argument to the one used to derive equation (9.2) shows that p D Ke-rT - So (9.6) Early Exercise When dividends are expected, we can no longer assert than an American call option will not be exercised early. Sometimes it is optimal to exercise an American call immediately prior to an ex-dividend date. It is never optimal to exercise a call at other times. This point is discussed further in the appendix to Chapter 13. Put-Call Parity Comparing the value at option maturity of the redefined portfolios A and C shows that, with dividends, the put-eall parity result in equation (9.3) becomes cDKe-rT pSo (9.7) Dividends cause equation (9.4) to be modified (see Problem 9.19) to So - D - K. C - p. So - Ke - rT (9.8) SUMMARY There are six factors affecting the value of a stock option: the current stock price, the strike price, the expiration date, the stock price volatility, the risk-free interest rate, and the dividends expected during the life of the option. The value of a call generally increases as the current stock price, the time to expiration, the volatility, and the riskfree interest rate increase. The value of a call decreases as the strike price and expected dividends increase. The value of a put generally increases as the strike price, the time to expiration, the volatility, and the expected dividends increase. The value of a put decreases as the current stock price and the risk-free interest rate increase. It is possible to reach some co. ndusions about the value of stock options without making any assumptions about the volatility of stock prices. For example, the price of a call option on a stock must always be worth less than the price of the stock itself. Similarly, the price of a put option on a stock must always be worth less than the options strike price. A European call option on a non-dividend-paying stock must be worth more than max(So - Ke - rT. 0) where So is the stock price, K is the strike price, r is the risk-free interest rate, and Tis the time to expiration. A European put option on a non-dividend-paying stock must be 220 CHAPTER 9 worth more than max(Ke-rT - So, 0) When dividends with present value D will be paid, the lower bound for a European call option becomes max(So - D - Ke - rT. 0) and the lower bound for a European put option becomes max(Ke-rT D - So, 0) Put-eall parity is a relationship between the price, c, of a European call option on a stock and the price, p, of a European put option on a stock. For a non-dividend-paying stock, it is cKe-rT pSo For a dividend-paying stock, the put-eall parity relationship is cDKe - rT pSo Put-call parity does not hold for American options. However, it is possible to use arbitrage arguments to obtain upper and lower bounds for the difference between the price of an American call and the price of an American put. In Chapter 13, we will carry the analyses in this chapter further by making specific assumptions about the probabilistic behavior of stock prices. The analysis will enable us to derive exact pricing formulas for European stock options. In Chapters 11 and 17, we will see how numerical procedures can be used to price American options. FURTHER READING Black, F. and M. Scholes. quotThe Pricing of Options and Corporate Liabilities, quot Journal oj Political Economy, 81 (MayjJune-1973): 637-59. Broadie, M. and J. Detemple. quotAmerican Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods, quot Review oj Financial Studies, 9, 4 (1996): 1211-50. Merton, R. c. quotOn the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates, quot Journal oj Finance, 29, 2 (1974): 449-70. Merton, R. C. quotTheory of Rational Option Pricing, quot Bell Journal oj Economics and Management Science, 4 (Spring 1973): 141-83. Merton, R. C. quotThe Relationship between Put and Call Prices: Comment, quot Journal oj Finance, 28 (March 1973): 183-84. Stoll, H. R. quotThe Relationship between Put and Call Option Prices, quot Journal oj Finance, 31 (May 1969): 319-32. Questions and Problems (Answers in Solutions Manual) 9.1. List the six factors that affect stock option prices. 9.2. What is a lower bound for the price of a 4-month call option on a non-dividend-paying stock - when the stock price is 28, the strike price is 25, and the risk-free interest rate is 8 per annum Properties of Stock Options 221 9.3. What is a lower bound for the pric of a I-month European put option on a nondividend-paying stock when the stock price is 12, the strike price i 15, and the risk-free interest rate is 6 per annum 9.4. Give two reasons why the early exercise of an American call option on a non-dividendpaying stock is not optimal. The first reason should involve the time value of money. The second should apply even if interest rates are zero. 9.5. quotThe early exercise of an American put is a trade-off between the time value of money and the insurance value of a put. quot Explain this statement. 9.6. Explain why an American call option on a dividend-paying stock is always worth at least as much as its intrinsic value. Is the same true of a European call option Explain your answer. 9.7. The price of a non-dividend-paying stock is 19 and the price of a 3-month European call option on the stock with a strike price of 20 is 1. The risk-free rate is 4 per annum. What is the price of a 3-month European put option with a strike price of 20 9.8. Explain why the arguments leading to put-call parity for Eur()pean options cannot be used to give a similar result for American options. 9.9. What is a lower bound for the price of a 6-month call option on a non-dividend-paying stock when the stock price is 80, the strike price is 75, and the risk-free interest rate is 10 per annum 9.10. What is a lower bound for the price of a 2-month European put option on a nondividend-paying stock when the stock price is 58, the strike price is 65, and the risk-free interest rate is 5 per annum 9.11. A 4-month European call option on a dividend-paying stock is currently selling for 5. The stock price is 64, the strike price is 60, and a dividend of 0.80 is expected in 1 month. Tingkat bunga bebas risiko adalah 12 per tahun untuk semua jatuh tempo. What opportunities are there for an arbitrageur 9.12. A I-month European put option on a non-dividend-paying stock is currently selling for 2.50. The stock price is 47, the strike price is 50, and the risk-free interest rate is 6 per annum. What opportunities are there for an arbitrageur 9.13. Give an intuitive explanation of why the early exercise of an American put becomes more attractive as the risk-free rate increases and volatility decreases. 9.14. The price of a European call that expires in 6 months and has a strike price of 30 is 2. The underlying stock price is 29, and a dividend of 0.50 is expected in 2 months and again in 5 months. The term structure is flat, with all risk-free interest rates being 10. What is the price of a European put option that expires in 6 months and has a strike price of 30 9.15. Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.14 if the European put price is 3. 9.16. The price of an American call on a non-dividend-paying stock is 4. The stock price is 31, the strike price is 30, and the expiration date is in 3 months. The risk-free interest rate is 8. Derive upper and lower bounds for the price of an American put on the same stock with the same strike price and expiration date. 9.17. Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.16 if the American put price is greater than the calculated upper bound. 222 CHAPTER 9 9.18. Prove the result in equation (9.4). (Hint: For the first part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to K, and (b) a portfolio consisting of an American put option plus one share.) 9.19. Prove the result in equation (9.8). (Hint: For the first part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to D K, and (b) a portfolio consisting of an American put option plus one share.) 9.20. Regular call options on non-dividend-paying stocks should not be exercised early. However, there is a tendency for executive stock options to be exercised early even when the company pays no dividends (see Business Snapshot 8.3 for a discussion of executive stock options). Give a possible reason for this. 9.21. Use the software DerivaGem to verify that Figures 9.1 and 9.2 are correct. Assignment Questions 9.22. A European call option and put option on a stock both have a strike price of 20 and an expiration date in 3 months. Both sell for 3. The risk-free interest rate is 10 per annum, the current stock price is 19, and a 1 dividend is expected in I month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader. 9.23. Suppose that Cl, Cl, and C3 are the prices of European call options with strike prices K 1, K2, and K3, respectively, where K 3 gt K2gt Kt and K 3 - K2 K2 - K 1 All options have the same maturity. Show that C2. s 0.5(cl C3) (Hint: Consider a portfolio that is long one option with strike price KI, long one option with strike price K3, and short two options with strike price K2) 9.24. What is the result corresponding to that in Problem 9.23 for European put options 9.25. Suppose that you are the manager and sole owner of a highly leveraged company. All the debt will mature in 1 year. If at that time the value of the company is greater than the face value of the debt, you will payoff the debt. If the value of the company is less than the face value of the debt, you will declare bankruptcy and the debt holders will own the company. (a) Express your position as an option on the value of the company. (b) Express the position of the debt holders in terms of options on the value of the company. (c) What can you do to increase the value of your position 9.26. Consider an option on a stock when the stock price is 41, the strike price is 40, the riskfree rate is 6, the volatility is 35, and the time to maturity is 1 year. Assume that a dividend of 0.50 is expected after 6 months. (a) Use DerivaGem to value the option assuming it is a European call. (b) Use DerivaGem to value the option assuming it is a European put. (c) Verify that put-eall parity holds. (d) Explore using DerivaGem what happens to the price of the options as the time to maturity becomes very large. For this purpose, assume there are no dividends. Explain the results you get. View Full Document This note was uploaded on 01302012 for the course MATH 174 taught by Professor Donblasius during the Spring 03911 term at UCLA.